Du skal logge ind for at skrive en note

I MAT B1 definerede vi en vektor som en regnestørrelse, kendetegnet ved en størrelse og en retning. Vi kunne angive vektoren ved dens vek­torkoordinater som var statiske (uforanderlige).

Vi kan imidlertid komme ud for at skulle beskrive en bevægelse ved hjælp af vektorer. Det betyder, at vektorerne bliver dynamiske. Vek­torkoordinaterne forandrer sig med tiden og kan således beskrives ved hjælp af funktionsudtryk. Derfor anvendes t ofte som betegnelse for den variabel, der indgår i disse funktionsudtryk. t kaldes her en pa­rameter.

Du skal logge ind for at skrive en note

Eksempel 2.1

En statisk vektor, hvor koordinaterne er kon­stante:

\vec{a} = \begin{pmatrix}4 \\ 2 \end{pmatrix}

En dynamisk vektor, hvor vektorkoordinaterne beskrives som funk­tioner:

\begin{aligned} \vec{b}(t) &= \begin{pmatrix} 5 \cdot t - 1 \\ 3 - t \end{pmatrix} \\ \vec{b}(4) &= \begin{pmatrix} 5 \cdot 4 - 1 \\3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \vec{b}(-1) &= \begin{pmatrix} 5 \cdot (-1) - 1 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \end{pmatrix} \end{aligned}

Du skal logge ind for at skrive en note

Banekurve, parameterkurve

Et punkts beliggenhed i et koordinatsystem kan beskrives ved en sted­vektor til punktet. Hvis stedvektorens koordinater er funktioner af en parameter, t, siger man, at punktet beskriver en banekurve eller en pa­rameterkurve. Vi vil se eksempler på, hvordan et punkt beskriver en ba­nekurve. Det kan være en partikel, der bevæger sig i en cirkulær bane, det kan være et punkt på et hjul, der kører langs en vej osv. Banekurven er således graf for en vektorfunktion.

Du skal logge ind for at skrive en note

Koordinatfunktioner

Vi betegner stedvektoren til et punkt P ved vektorfunktionen:

\overrightarrow{OP}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}

Her kaldes x(t) og y(t) for banekurvens koordinatfunktioner.

Ofte betegnes vektorfunktioner med \vec{r}(t) eller \vec{s}(t).

Du skal logge ind for at skrive en note

Eksempel 2.2

En vektorfunktion:

\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t^2 + 1 \\ 2 \cdot t + 6 \end{pmatrix}, t \in R

Koordinatfunktionerne er: 

\begin{aligned} x(t) &= t^2 + 1 \\ y(t) &= 2 \cdot t + 6 \end{aligned}

Du skal logge ind for at skrive en note

Afbildning af banekurve

Banekurven kan afbildes ved at beregne koordinater til støttepunk­ter for forskellige værdier af parameteren t.

Vi beregner støttepunkter til banekurven fra eksempel 2.2:

Du skal logge ind for at skrive en note
t-2-101
x(t) = t2 + 15212
y(t) = 2 · t + 62468
Du skal logge ind for at skrive en note

På figur 2.2 ses grafen for kurven. Stedvektorerne til de valgte værdier af t er ligeledes afbildet.

\vec{r(t)} = \begin{pmatrix} t^2 + 1 \\ 2 \cdot t + 6\end{pmatrix}

Du skal logge ind for at skrive en note
Figur 2.2

Afbildning af en banekurve

Figur 2.2

Afbildning af en banekurve

Du skal logge ind for at skrive en note

CAS-eksempel 2.1

Med CAS-værktøjet slipper vi for besværet med at regne støttepunkter. På figur 2.3 ses banekurven afbildet ved hjælp af et matematikprogram.

Du skal logge ind for at skrive en note
Figur 2.3
Figur 2.3
Du skal logge ind for at skrive en note
Du skal logge ind for at skrive en note

Vektorfunktioners banekurver

Her er et interaktivt værktøj til visning af en eller to banekurvers bevægelse over tid. Vær opmærksom på, at du skal angive intervallet, som gælder for den valgte banekurve. Se vejledning i anvendelse af værktøjet ved at klikke på billedet.

Du skal logge ind for at skrive en note
Du skal logge ind for at skrive en note
ISBN: 9788761630704. Copyright forfatterne og Systime A/S 2018